Как найти НОК и НОД

Что такое НОД и НОК

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — наибольшее натуральное число, на которое делятся эти числа без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Для небольших чисел оба легко найти перебором. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Общие — 1, 2, 3, 6, наибольший из них 6, значит, НОД (12, 30) = 6. Кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72… Кратные 30: 30, 60, 90… Первое общее — 60, поэтому НОК (12, 30) = 60.

Для больших чисел перебор долгий и легко что-то пропустить. Поэтому в учебнике оба числа находят через разложение на простые множители.

Шаг 1: разложить числа на простые множители

Простое число имеет ровно два делителя — единицу и само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Любое составное число можно записать произведением простых множителей; обычно их пишут в порядке возрастания. Что такое простые числа и как их отличить от составных — в статье «Простые числа».

Раскладывать удобно с вертикальной чертой. Слева пишут число, справа — его наименьший простой делитель, под числом — частное, и так, пока не получится 1. Признаки делимости подсказывают делитель: чётное число делится на 2, число с суммой цифр, делящейся на 3, — на 3, оканчивающееся на 0 или 5 — на 5.

Как найти НОД

Алгоритм из учебника: разложить числа на простые множители, подчеркнуть общие множители в каждом разложении и найти произведение общих множителей.

Найдём НОД 84 и 90. В разложениях 84 = 2 · 2 · 3 · 7 и 90 = 2 · 3 · 3 · 5 общие множители — одна двойка и одна тройка. Их произведение 2 · 3 = 6. Записывают так: НОД (84, 90) = 6.

Ещё пример: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 и 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5. Общие — три двойки и одна тройка, их произведение 24, то есть НОД (72, 120) = 24. Общий множитель берут столько раз, сколько он входит в оба разложения: в 72 тройка встречается дважды, а в 120 — один раз, поэтому в НОД она входит один раз.

Как найти НОК

Алгоритм из учебника: разложить числа на простые множители, выписать множители из разложения большего числа, добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел и найти произведение.

Найдём НОК 84 и 90. Большее число 90 = 2 · 3 · 3 · 5. В разложении 84 = 2 · 2 · 3 · 7 есть ещё одна двойка и семёрка, которых в разложении 90 не хватает, — добавляем их. Получаем НОК (84, 90) = 1260.

Для 72 и 120: выписываем 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, из разложения 72 не хватает одной тройки. Значит, НОК (72, 120) = 360.

Проверка: НОК делится на каждое из чисел без остатка, как 1260 на 84 и на 90.

Особые случаи

Если все числа делятся на одно из них, оно и есть НОД: 45 делится на 15, поэтому НОД (15, 45) = 15. И наоборот, если одно число делится на все остальные, оно и есть НОК: 18 делится на 6, поэтому НОК (6, 18) = 18.

Числа, у которых наибольший общий делитель равен 1, называют взаимно простыми. Например, 8 = 2 · 2 · 2 и 15 = 3 · 5 общих множителей не имеют: НОД (8, 15) = 1. Добавлять к множителям 15 приходится все множители 8, поэтому их НОК равен произведению самих чисел: НОК (8, 15) = 120.

НОД и НОК трёх чисел

Для трёх и более чисел алгоритмы те же. Для НОД берут множители, которые есть во всех разложениях сразу. Для НОК выписывают множители наибольшего числа и по очереди добавляют недостающие из каждого следующего.

Разложения: 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3, 30 = 2 · 3 · 5. Во всех трёх есть двойка и тройка, поэтому НОД (12, 18, 30) = 6.

Найдём НОК 4, 6 и 10. Выписываем 10 = 2 · 5, из 4 = 2 · 2 добавляем вторую двойку, из 6 = 2 · 3 — тройку. Получаем НОК (4, 6, 10) = 60.

Зачем нужны НОД и НОК

НОК знаменателей — это наименьший общий знаменатель. Он нужен, чтобы сравнивать, складывать и вычитать дроби с разными знаменателями: НОК (12, 18) = 36, поэтому дроби 5/12 и 7/18 приводят к знаменателю 36. Подробно — в статье «Как сравнивать и складывать дроби».

НОД помогает сократить дробь за один шаг: числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, и дробь сразу становится несократимой. Раз НОД (84, 90) = 6, дробь 84/90 сокращается на 6.

Распечатать задания на НОД и НОК

Как не ошибиться

Самопроверка простая. НОД не может быть больше меньшего из чисел, и каждое число должно делиться на него без остатка. НОК не может быть меньше большего из чисел и сам должен делиться на каждое из них.

Частые ошибки: в разложении остался составной множитель (например, 4 или 9 вместо 2 · 2 и 3 · 3); в НОД взяли множитель, который есть только в одном разложении; в НОК повторили множитель, который уже есть среди выписанных. Потренироваться можно на листах генератора «НОД и НОК»: там есть задания на разложение, НОД и НОК с ответами для проверки.