Простые числа: что это такое
Простое число делится только на 1 и на само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Ниже — определение простыми словами, почему 1 не простое число, как проверить любое число, решето Эратосфена, взаимно простые числа и все 25 простых чисел до 100.
Редакция A4go · Школа · опубликовано · 3 мин чтения
Что такое простое число
У каждого натурального числа есть делители — числа, на которые оно делится без остатка. У 12 их шесть: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. А у 7 всего два: 1 и 7.
Простое число — это натуральное число, у которого ровно два делителя: единица и само это число. 2, 3, 5, 7, 11, 13 — простые. Простыми словами: простое число нельзя разложить на множители меньше него, его можно получить умножением только как «1 · само число».
Составные числа и число 1
Составное число — натуральное число, у которого больше двух делителей: 4 (1, 2, 4), 9 (1, 3, 9), 12. Его можно представить произведением меньших чисел: 12 = 3 · 4.
У числа 1 только один делитель — оно само. Поэтому 1 не простое и не составное число. Все остальные натуральные числа, начиная с 2, — либо простые, либо составные.
Единственное чётное простое число — 2. Любое другое чётное число делится на 2, значит, у него есть делитель кроме 1 и самого себя, и оно составное.
Как проверить, простое ли число
Число делят по очереди на простые числа 2, 3, 5, 7, 11… Если разделилось без остатка хотя бы на одно (кроме самого числа), оно составное. Проверять можно не до конца: достаточно простых чисел, квадрат которых не больше проверяемого числа.
- 91: на 2 не делится (нечётное), на 3 — нет (сумма цифр 10), на 5 — нет (оканчивается на 1). На 7: 91 : 7 = 13. Значит, 91 = 7 · 13 — составное, хотя выглядит как простое.
- 97: на 2, 3, 5 и 7 не делится. Следующее простое — 11, но 11 · 11 = 121 уже больше 97, дальше проверять не нужно. 97 — простое.
Быстро отсеять многие числа помогают признаки делимости: на 2 — последняя цифра чётная, на 3 — сумма цифр делится на 3, на 5 — последняя цифра 0 или 5.
Решето Эратосфена
Чтобы найти все простые числа до какого-то числа, их не проверяют по одному, а «просеивают» — способом, который придумал древнегреческий учёный Эратосфен.
- Выпишите числа от 2 до 100 (1 — не простое, его не пишут).
- Первое число, 2, — простое. Зачеркните все числа, которые делятся на 2: 4, 6, 8…
- Следующее незачёркнутое — 3, оно простое. Зачеркните всё, что делится на 3: 6, 9, 12…
- Дальше — 5 и 7: тоже простые, зачёркиваем числа, кратные им.
- Следующее незачёркнутое — 11, а 11 · 11 = 121 больше 100: все оставшиеся числа — простые.
После просеивания остаются 25 простых чисел — они в таблице ниже.
Простые числа до 100
До 100 — 25 простых чисел, до 1000 — 168.
| Числа | Простые | Сколько |
|---|---|---|
| 1–10 | 2, 3, 5, 7 | 4 |
| 11–20 | 11, 13, 17, 19 | 4 |
| 21–30 | 23, 29 | 2 |
| 31–40 | 31, 37 | 2 |
| 41–50 | 41, 43, 47 | 3 |
| 51–60 | 53, 59 | 2 |
| 61–70 | 61, 67 | 2 |
| 71–80 | 71, 73, 79 | 3 |
| 81–90 | 83, 89 | 2 |
| 91–100 | 97 | 1 |
Все 168 простых чисел до 1000 на одном листе — в генераторе «Таблица простых чисел»: можно распечатать на A4 и вклеить в тетрадь или повесить над столом.
Разложение на простые множители
Любое составное число можно записать произведением простых чисел — разложить на простые множители. Делят на наименьшее простое, на которое число делится, потом частное — снова, пока не останется 1: 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Множители записывают по возрастанию.
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, а с ними — сокращать дроби и приводить их к общему знаменателю. Потренироваться можно в генераторе «НОД и НОК»: там есть и задания на разложение.
Взаимно простые числа
Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1: у них нет общих делителей, кроме единицы. 8 и 15 — взаимно простые: делители 8 — 1, 2, 4, 8, делители 15 — 1, 3, 5, 15, общий только 1.
Сами взаимно простые числа не обязаны быть простыми: 8 и 15 — составные. А два разных простых числа всегда взаимно простые. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению: НОК (8, 15) = 120.
Источники
- Определения простого и составного числа, число 1, разложение на простые множители — Н. Я. Виленкин и др. «Математика. 6 класс», часть 1 (Просвещение), § 6; взаимно простые числа — § 7; решето Эратосфена — там же, в конце § 8.
- В каком классе какая тема — федеральная рабочая программа основного общего образования «Математика» (5–9 классы): простые и составные числа — 5 класс, НОД и НОК — 6 класс.
Вопросы и ответы
Является ли 1 простым числом?
Нет. У простого числа ровно два делителя, а у 1 — только один. Число 1 не простое и не составное.
Сколько простых чисел до 100?
25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Какое единственное чётное простое число?
Число 2. Все остальные чётные числа делятся на 2 и поэтому составные.
Что такое взаимно простые числа?
Числа, у которых наибольший общий делитель равен 1, например 8 и 15. Сами они могут быть составными.
Как узнать, простое ли число?
Разделить его на простые числа 2, 3, 5, 7… — до тех, квадрат которых не больше самого числа. Если ни на одно не делится, число простое.
В каком классе проходят простые числа?
По федеральной рабочей программе простые и составные числа — в 5 классе, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — в 6 классе. В учебнике Виленкина для 6 класса определения повторяются в параграфе о разложении на простые множители, там же — взаимно простые числа.